הומולוגיה

במתמטיקה, הומולוגיה היא סדרה של חבורות אבליות שאפשר להתאים לאובייקטים מסוימים. ההומולוגיה H i ( X ) {\displaystyle H_{i}(X)} של האובייקט X (כאשר i אינדקס שלם) מחושבת בדרך כלל מתוך קומפלקסי שרשרת C ( X ) {\displaystyle \ C(X)} (זוהי למעשה הומולוגיה של קומפלקס שרשרת, H i ( X ) := H i ( C ( X ) ) {\displaystyle H_{i}(X):=H_{i}(C(X))} ). בניית הקומפלקס C ( X ) {\displaystyle C(X)} אינה קנונית, ועם זאת חבורות ההומולוגיה המתקבלות מן הקומפלקס תלויות אך ורק ב-X. בכך עוצמתה של הטכניקה הזו: האפשרות לבנות את קומפלקס השרשרת בדרכים שונות מאפשרת לחשב את חבורות ההומולוגיה, והיא גם מראה שההומולוגיה אינה תלויה בפרטי המבנה של X עצמו, אלא בתכונות "רכות" שלו. חבורות הומולוגיה אפשר להגדיר עבור אובייקטים שלכאורה אין ביניהם קשר: מרחבים טופולוגיים, חבורות, קומפלקסי שרשרת וכדומה. את מושג ההומולוגיה אפשר להעשיר על ידי הוספה של מקדמים. לדוגמה עבור מרחב טופולוגי X {\displaystyle X} וחבורה אבלית (או באופן כללי יותר אלומת חבורות אבליות מעל X {\displaystyle X} ) M {\displaystyle M} , ניתן להגדיר את ההומולוגיה H i ( X , M ) {\displaystyle H_{i}(X,M)} של X {\displaystyle X} עם מקדמים ב- M {\displaystyle M} . באופן דומה ניתן להגדיר הומולוגיה של חבורה Γ {\displaystyle \Gamma } עם מקדמים בהצגה M {\displaystyle M} של Γ {\displaystyle \Gamma } . בדרך כלל אפשר להגדיר את ההומולוגיה כפונקטור הנגזר.