שדות מקומיים (אלגברה)

במתמטיקה, שדה מקומי הוא שדה קומפקטי באופן מקומי ביחס לערך מוחלט לא טריוויאלי. לשדות מקומיים יש אריתמטיקה פשוטה במיוחד, ומכאן התפקיד המרכזי שיש להם בתורת המספרים, ובפרט באריתמטיקה של שדות גלובליים. את משפחת השדות המקומיים אפשר למיין באופן מלא. שדות מקומיים ארכימדיים: אלו הם שדות מקומיים שהערך המוחלט שלהם ארכימדי. יש בידיוק 2 שדות כאלה - שדה המספרים הממשיים R {\displaystyle \,\mathbb {R} } ושדה המספרים המרוכבים C {\displaystyle \,\mathbb {C} } . השדות המקומיים עם ערך מוחלט לא ארכימדי שייכים (עד כדי איזומורפיזם) לשתי קבוצות: שדות מקומיים לא ארכימדיים בעלי מאפיין 0: הרחבות סופיות של שדה המספרים ה-p אדיים Q p {\displaystyle \,\mathbb {Q} _{p}} . שדות מקומיים לא ארכימדיים בעלי מאפיין 0 נקראים גם שדות p-אדיים. שדות מקומיים בעלי מאפיין p > 0 {\displaystyle \ p>0} : טורי לורן פורמליים F q ( ( T ) ) {\displaystyle \mathbb {F} _{q}((T))} מעל שדה סופי F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} ממאפיין p. פעמים רבות מתייחס המונח "שדה מקומי" לשדות שהערך המוחלט שלהם לא-ארכימדי, הנקראים גם "שדות מקומיים לא ארכימדיים".